Az első számítógépemet felértékelték a vámon a lakásunk árára

Hogyan tudta meg, hogy nyert?

Ennek a díjnak hagyománya, hogy az eredményhirdetés előtt pár nappal a díjazottat meglepetésszerűen értesítik. Esetemben az MTA kommunikációért felelős kollégái jelezték, hogy interjút készítenének velem a kutatásaimról az Akadémia honlapjára. Péntek délután kettőre beszéltük ezt meg, de amikor megnyitottam a Zoomot, nemcsak Tamás és Bálint volt a meetingben, akikre számítottam, hanem még néhányan az Akadémiáról és a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetből, továbbá három résztvevő Norvégiából. Akkor már sejtettem, hogy miről lehet szó, ugyanakkor nem számítottam rá. A kétezres évek elején pár évig részt vettem a díjbizottságban, és láttam, hogy egy ilyen döntés mennyire nem egyértelmű: a jelöltek nagyon különböző területeken dolgozó, erős teljesítményeket felmutató emberek, akiknek a munkásságát igen nehéz összehasonlítani, és elég esetleges, hogy végül kit választ a bizottság. Aztán amikor közölték, már csak arra gondoltam, hogy minél előbb elmondhassam a feleségemnek.

Az indoklás szerint a diszkrét matematika és az elméleti számítógép-tudomány fejlődéséért kapták a díjat. Mit fed le a két tudományterület, és hogyan függ össze a kettő?

A matematikán belül a 19. századig az analízis, a differenciál- és integrálszámítás hozta a nagy fejlődést – ezt folytonos matematikának lehet röviden nevezni. Közben alakulgatott egy másik ág, a diszkrét matematika is, de elég lassan. A diszkrét matematikát szokás végesnek is nevezni, mert nem folytonos, hanem egymástól elkülönített elemekből álló struktúrákat vizsgál, például egy hálózatot. A diszkrét matematika, illetve a gráfelmélet – ami a hálózatelmélet matematikai alapja – Magyarországon különösen erős volt, mert Kőnig Dénes, majd később Erdős Pál hatására nagyon sokan foglalkoztak ezzel. Világszerte Erdős volt ennek a területnek az egyik legnagyobb hatású művelője, kialakítója. Ezzel együtt egészen a hatvanas évekig ezt mellékágnak tekintették a matematikán belül.

Aztán megjelentek a számítógépek, amiknek a működése, alapvetően diszkrét, ugye, digitális. Egy számítógép-algoritmus külön lépésekből áll, nem folytonos folyamat, mint mondjuk a vízáramlás. Maga a számítógép szerkezete is egy tranzisztorokból és más alkatrészekből álló, nagyon bonyolult, de véges hálózat. A diszkrét matematika így hirtelen sokkal fontosabbá vált, és kialakult körülötte egy nagyon érdekes társaság, aminek tagjai valahogy nem is igen különböztették meg magukat, hogy matematikusok vagy számítógéptudósok. Ugyanazok a személyek kutattak mindkét területen, és nagyon izgalmas eredményekre jutottak.

Ez elég hamar elkezdte átalakítani aztán a matematika jelentős részét. Kezdett kialakulni, hogy nem elég valamilyen struktúrát a matematikán belül definiálni, de azt ki is kell tudni számolni, tehát algoritmusok kellenek. Aztán kiderült, hogy előfordul olyan helyzet, amikor nincs megfelelő algoritmus, vagy csak nagyon lassú és nehézkes van, és olyankor felmerült a kérdés, hogy a probléma ilyen nehéz, vagy csak a mi ügyetlenségünk, hogy nem találunk jobb algoritmust. Ezt hívják az algoritmusok bonyolultságelméletének, és ez egy nagyon izgalmas terület, mert végeredményben a számítógépek biztonsága is ezen múlik. Hiszen ott arról van szó, hogy olyan kódolást kell kitalálni, aminek a kulcs nélküli feltörése olyan hosszadalmas és bonyolult feladat volna, hogy az a gyakorlatban már nem jelent veszélyt. Ez máig egy állandó probléma és egy izgalmas, nyitott kérdés.

Tehát valahogy ez az egész témakör hozott a matematikán belül egy új gondolkodásmódot. A diszkrét matematika és a számítógépekkel kapcsolatos problémák megtermékenyítették egymást, és ez nagyon sokfelé megváltoztatta a gondolkodásunkat.

A díj indoklása konkrétabban a számítási véletlenszerűséget említi. Elmagyarázná, mi ez?

Az egyik fogalom, ami a diszkrét matematikában gyökeresen átalakult, a véletlen. Ez hosszú ideig a matematika határán levő fogalom volt, és nagyon nehéz is pontosan definiálni – különösen, amikor nem is igazi véletlenről van szó, hanem olyan álvéletlen-sorozatokról, amiket a számítógépek használnak. Neumann János még azt mondta, hogy aki véletlenszám-generátort használ, az állandóan a „bűn állapotában” létezik, mert olyasvalamihez nyúl, aminek nincsenek matematika alapjai. Ennek ellenére egyébként ő nagy támogatója volt a véletlen használatának algoritmusokban.

A paradigmaváltást az jelentette, hogy megteremtettük a matematikai alapokat. Vagyis sikerült a tudományos kereteken belül pontosan értelmezni, hogy mitől lesz megbízható mondjuk egy véletlenszám-generátor. Aztán az is kiderült, hogy a véletlent használó bizonyítások és algoritmusok rendkívül fontosak, és nagyon sok olyan feladat létezik, amit véletlen használata nélkül nem tudunk megoldani. Egyébként ez is Erdős Pálig megy vissza, ő volt ennek a bizonyítási módszernek a megalkotója és nagyon erős propagálója.

A véletlenhez kapcsolódik egyik leghíresebb eredménye is, a Lovász-féle lokális lemma is. A lemma a matematikában olyan bizonyított állítás, amit kiindulási alapnak használnak fel későbbi jelentősebb eredményekhez. Az ön lemmája miért volt fontos?

Ez már valószínűségszámítási feladat volt, az Erdős Pál-féle véletlenmódszer alkalmazhatóságát szerettem volna kibővíteni. 1973 nyarán egy hónapra az Ohio State Universityn voltam vendég, és Erdős is éppen ott volt, mert akkor ott egy nagyon aktív kombinatorikai iskola működött. Egyik éjjel nem tudtam aludni egy nagy zivatar miatt, felkeltem, elkezdtem gondolkozni, és akkor ugrott be, hogy ezt a lemmát be kellene bizonyítani. Ez végül nem is volt nehéz, és Erdős személyes nagyságát mutatja, hogy bár közösen írtunk cikket erről, ő mindig csak az én nevemen idézte.

A lemma olyan helyzetre alkalmazható, amikor nagyon sok feltételnek kell egyidejűleg eleget tenni. Tehát adott sok esemény, mindegyik bekövetkezik valamilyen valószínűséggel, de hogy mindegyik egyszerre következzen be, annak igen kicsi az esélye, és ha ezek az események valamennyire függnek is egymástól, az még bonyolítja a kérdést. A lemma valamilyen módon tűt keres a szénakazalban: egy nagyon kis valószínűséggel bekövetkező eseményről tudja azt megmutatni, hogy noha nagyon kicsi az a valószínűség, de legalábbis nem nulla. Ennek aztán mindenféle továbbfejlesztése is volt, érdemes elmondani például, hogy Tardos Gábor, a Rényi intézet munkatársa egy Robin Moser nevű kollégájával algoritmust is fel tudott írni rá – tehát nemcsak azt tudta bizonyítani, hogy van tű a szénakazalban, de azt is, hogy meg lehet találni.

Egy fiatal matematikusnak mennyi lehetősége volt Magyarországon számítógépekhez férni a hatvanas-hetvenes években?

Eleinte semennyi, de eleinte nem is kellett gép, mert a számítástechnikának kifejezetten az elméleti oldala érdekelt minket. Így is születtek jó eredmények, a hetvenes évek elején például írtam Gács Péter kollégámmal egy könyvet Algoritmusok bonyolultsága címmel, abban nagyon sok számítástechnikai módszert mi írtunk le először Magyarországon, illetve mi vittünk be a köztudatba.

Én csak 1986-ban vittem haza első számítógépemet, egy IBM XT-t, amit akkor a vám felértékelt annyira, amennyibe az akkori lakásunk került. Aztán szerencsére nem kellett vámot fizetni, mert a gép bizonyos körülmények között vámmentességet kaphatott.

Azon a gépen már algoritmusokkal is kísérletezgettem, de kicsit korábban is csináltam már ilyet, mert 1980 körül sokat járt Magyarországon a nemrég elhunyt neves amerikai matematikus, Ronald Graham, és ő hozott egy HP programozható kalkulátort. Annak volt némi szerepe abban, hogy a kriptográfia területén máig használatos LLL-algoritmus rám eső részét megírtam. Persze az a gép csak arra volt alkalmas, hogy nagyon kis példákon kísérletezgessek, de ha az ember odafigyel, a kis példa is tud útmutató lenni.

A kommunista Magyarországon mennyire volt szabad a matematika kutatása, emlékszik esetleg valamilyen jellemző problémára vagy elvárásra felsőbb szintekről?

Aránylag szabadon ténykedtünk. Apró nehézségek voltak persze, például a külföldi utak előtt mindenféle bürokratikus akadályok álltak. Témát tekintve pedig időről időre előjött, hogy „arccal az alkalmazások felé”, de ez komoly problémát nem okozott. Sőt, én a magam részéről még egyet is értettem volna ezzel a törekvéssel, de sokszor belefutottunk olyan problémába, hogy a matekos alkalmazásokhoz olyan környezet kell, ahol az adatok megbízhatósága és a struktúrák egyértelműsége megvan.

Hogy mondjak erre egy újabb keletű példát, az egyik kollégám, aki Berlinben vezető matematikus, a csapatával készített egy alkalmazást, amivel a berlini buszközlekedés menetrendjeit optimalizálták. Ez jelentős megtakarítással járt, de nagyon összetett munka volt, mert figyelembe kellett venni a különböző kollektív szerződéseket, hogy a sofőr mennyi ideig és hol lehet, hogy a sofőr ott végezze a munkát, ahol kezdte, és így tovább – és mindebből feldolgozható adatokat kellett csinálni. Ezt sokkal nehezebb volna Magyarországon összehozni, mert nálunk annyira sok az előre nem látható és a rendesen le nem adminisztrált körülmény, hogy egy ilyen optimalizáláshoz nem volnának megbízhatók az adatok.

A matematika alkalmazásaihoz tehát egy bizonyos környezet is kell, olyan adatok, tartósan létező struktúrák és feltételek, amikből ki lehet indulni, és a szocializmusban ez nem mindig volt meg.

De végeredményben nem emlékszem olyan nyomásra sem, ami akadályozta volna a matematikai kutatásokat.

Hat évig MTA-elnök volt, ezalatt volt ideje kutatni is, követte például a munkásságára épülő újabb eredményeket?

Igyekeztem. Általában hétvégéken próbáltam itthon dolgozni, és az elnökségem alatt meg is írtam egy monográfiát. Illetve a felét még előtte írtam meg, de tudjuk, hogy a második fél sokkal nehezebb, mint szinte minden munkánál. Gráfok és geometria a címe, az amerikai matematikai társulatnál jelent meg.

Ezenkívül az elmúlt években sokat foglalkoztam azzal a néhány problémával, amik jelenleg engem a matematikából a legjobban érdekelnek. Az egyik ilyen a gráflimeszelmélet. A gráfelmélet nulláról indult, nem voltak benne standard módszerek, és engem mindig is érdekelt, hogy miként lehetne a matematika más területeiről a gráfelméletbe módszereket behozni. Ez nem nyilvánvaló, mert például az analízis más fogalmakkal dolgozik, folytonos függvényekkel, differenciálással, a gráfelmélet pedig csúcsokkal, élekkel, fokokkal. De azért ezek a területek több helyen kapcsolódnak, és az egyik ilyen probléma a gráflimeszelmélet, amit még a Microsoftnál kezdtünk kidolgozni a kétezres években. Azóta is sokat dolgoztam és dolgozunk ezen a kollégáimmal, az analízist próbáljuk a gráfelmélettel egy bizonyos módon összekapcsolni.

Megpróbálom egy példán keresztül megvilágítani. Ha veszünk mondjuk egy fémdarabot, akkor arról tudjuk, hogy az tulajdonképpen egy hálózat, atomok hálózata. De egy mérnök nem így tekint rá, hanem úgy, hogy az egy folytonos anyag, aminek lokális hőmérséklete van, feszültségek vannak benne, deformációi vannak, és ezek alapján ki lehet számítani, hogy például az a híd össze fog-e dőlni, amibe a fémdarabot beépítjük. Gráfelmélet útján nem lehet ezt kiszámolni, nem lehet minden atomra felírni és megoldani mondjuk kvantumfizikai egyenleteket, hanem valahogy egy folytonos közelítéssel kell élni. Ilyesmit próbálunk kidolgozni nagyon nagy gráfokra, azoknak valamilyen folytonos közelítését megadni. Ez nem mindig lehetséges, de ha elég sűrű ez a hálózat, akkor igen.

Barabási-Albert Lászlóval együtt részt vesz a DYNASNET nevű, ERC Synergy Grant által támogatott projektben is, ami 2019 és 2025 között zajlik, és a hálózatkutatás alkalmazási lehetőségei felé mutat. Ebbe a munkába érkezett meg a járvány, ami hálózatkutatói szemmel érdekes jelenség. Esetleg azzal is foglalkoznak, hogy a járványkezelésben mivel tud segíteni a matematika?

Hogyne, és ez a munka valamilyen értelemben tulajdonképpen a folytatása annak, amit imént elmondtam. Ahhoz, hogy egy nagy hálózat – mint például az agy vagy az internet – működjön, valamiféle dinamikának kell rajta történnie, például anyagáramlásnak vagy információáramlásnak, vagy akár maga a hálózat is változhat. Ezeket a tulajdonságokat szeretnénk megfogni valahogy. A pályázatot még bőven a járvány előtt adtuk be, és szerepelt benne, hogy erre a dinamikára egy fontos példa a járványok terjedése a szociális hálózatokban. Elég természetes volt, hogy amikor az MTA elnökségétől felszabadultam, egyik témaként ezt előrevettük. Egy kis csoportommal a Rényi intézetben dolgozunk is ezen.

Nem ambicionáltuk azt, hogy előrejelzéseket tegyünk, részben azért, mert ezt Röst Gergely és csapata Szegeden nagyon jól megcsinálja, és nem lett volna értelme azt lemásolni, úgyhogy inkább azzal foglalkoztunk, hogy milyen jelenségeket tud produkálni a járvány, illetve hogy milyen adatokból tudnánk megbízhatóbb előrejelzéseket csinálni.

Például ha mondjuk azt tudjuk, hogy Magyarországon van tízezer fertőzött, nem mindegy, hogy az a tízezer mind Budapesten van, vagy hogy mennyire egyenletesen oszlanak el más nagyvárosok között, mert ezek a különböző helyzetek különböző járványgörbékhez vezetnek. Még az sem egyértelmű, hogy melyik a veszélyesebb helyzet, mert a terjedés sok más körülménytől függ, például attól, hogy mennyire agresszív a fertőzés.

Ez egyike azoknak az eredményeknek, amiket matematikailag be lehet bizonyítani, és sok szimuláció is alátámasztja. A szimulációknak egyébként nagy szerepük van, mert a járványterjedés matematikája általában nagyon bonyolult. Az iskolából hozott matematikai hozzáállást ilyenkor kicsit meg kell erőszakolni, mert az ember matematikusként úgy szocializálódott, hogy csak az az eredmény, amit bebizonyítottunk. Ennek ellenére Erdős Pál egy további fontos hozzájárulása volt a matematika fejlődéséhez, hogy ő a sejtéseket, a megalapozott de nem bizonyított matematikai hipotéziseket nagyon fontosnak tartotta, nyomon követte. Valahogy ennek a járvány nagyobb létjogosultságot adott.

És mennyire vannak meg Magyarországon a szükséges adatok? Tavaly áprilisban az MTA az ön jegyzésével Covid-ajánlást adott ki, amiben többek között több tesztelést sürgetett. Mennyire fogadta meg a kormány ezt az ajánlást?

Nem eléggé, sajnos. Igaz, a tesztelés jelentősége kisebb, amikor a járvány már mindenütt jelen van, ugyanakkor amikor az angol vírusvariáns elindult, nagyon fontos lett volna tudni, hogy hol és milyen arányban van jelen legalább a nagyobb városokban. Ez nagyon nagy mértékben befolyásolhatta volna az előrejelzéseket. Dániában például ezt nagyon gondosan nyilvántartották, és mi csak feltételezni tudtuk, hogy hasonlóan zajlik a dolog Magyarországon is. A tesztelés nagyon fontos lett volna a járvány elején is, és a kontaktuskutatást is tovább kellett volna vinni.

Politikai következtetéseket viszont nem szeretnék levonni, már csak azért sem, mert kicsit látom a külföldi helyzeteket is, és úgy látom, hogy minden kormány valamennyire a sötétben tapogatózik.

De az biztosan jó lett volna, ha nyáron az egészségügy és az oktatásügy is felkészül arra, hogy lesz egy második, sőt harmadik hullám.

Az egyik lányom Amerikában tanít, vele nyáron elvégeztettek egy digitálisoktatás-tanfolyamot, és azt mondta, hogy hasznos volt, olyan információkat és segítséget kapott, amikkel sikeresebben végezheti a távoktatást. Ilyesmiket nálunk is meg kellett volna lépni, felkészülni arra, hogy mi történik például, ha be kell zárni az iskolák egy részét. Hiba volt, hogy ez nem történt meg.

Ön mellett még két magyar, Lax Péter és Szemerédi Endre is megkapta az Abel-díjat, az Erdős-tanítványokat pedig a matematika Aranycsapataként emlegetik. Mi az oka annak, hogy a sok nemzet közül a magyarok ennyire jók matekosok?

Van egy erős hagyományunk, ami visszamegy arra, hogy Magyarországon az első országos matematikaversenyt 1893-ban rendezték. Ugyanakkor indult a Középiskolai Matematikai Lapok, ami a világon a második ilyen kezdeményezés volt, mert a franciáknál pár évvel korábban indult egy hasonló folyóirat. Ez a hagyomány azóta is él: a tehetségek megnyerése a matematika szeretetére, a szemlélet, hogy a matematika nemcsak egy megtanulandó tantárgy, hanem egy akár művészi élvezetet nyújtó tudományterület. Pósa Lajos iskolája például ma is működik, és nagyon sok tehetséges fiatallal szerettette meg a matematikát.

Amikor én középiskolába kerültem, akkor indult az első matematika tagozatos osztály a Fazekasban, és sok kiváló matematikus kijárt oda velünk foglalkozni, beleértve Erdős Pált, aki, amikor Magyarországra jött, többször meglátogatta az osztályt, szakkört tartott, vagy akár csak beszélgetett velünk. Ez a tradíció, hogy a fiatalokkal foglalkozni kell, és őket a tudományba be kell vezetni, ez megmaradt. És hát ott kell kezdeni valahogy.

És a nem tehetséggondozó matematikatanítást hogy látja? A nyolcvanas években volt egy pedagógiai reform a felfedeztető matematikaoktatásra, de aztán azt visszarendeződés követte a poroszos módszerek felé.

Igen, azzal sokkal több probléma van, és nem csak Magyarországon, azt mondanám, világprobléma. Amerikában például sokkal erősebb volt a visszarendeződés, mint nálunk. Ezt onnan tudom, hogy éltünk Amerikában, amikor a gyerekeink iskoláskorúak voltak, és figyeltem, hogy mit tanulnak; teljesen visszamentek oda, hogy minél gyorsabban minél több írásbeli szorzást-osztást kell elvégezni. Legalábbis a legtöbb iskolában, mert ott is voltak és vannak persze kivételes tanáregyéniségek.

Én úgy gondolom egyébként, hogy a felfedeztető matematikaoktatás sem elég önmagában, hanem ennek keretében, ennek a motivációját kellene bővíteni az alkalmaztatás irányába. Léteznek ilyen törekvések, de azért elég kevés dolgot használunk ki, amit kihasználhatnánk. Akár a világunk statisztikai megismerése is lehetne hangsúlyosabb, és akkor pontosabban, szélesebb körben megértenék az emberek az információkat, Például azt, hogy mit jelent, ha egy oltáskampányban pár millió beoltottból egy vagy legalábbis nagyon kevés ember nagyon beteg lesz. Egy ilyen számot ma legtöbben nem tudnak értelmezni, nem hasonlítják össze maguktól, hogy ha nem lenne az oltás, akkor a tízmillióból mennyien haltak volna meg vagy mennyien volnának nyomorult helyzetben. De ugyancsak a matematika alkalmazása például a számítógépek biztonsága, és tulajdonképpen viszonylag egyszerű matematikával is rá lehet világítani arra, hogy ennek mi a lényege és min múlik. És nagyon sok hasonló példát találni, biológiából, akár – biztosan jó lenne elmozdulni ebbe az irányba.