Egy lépéssel közelebb kerültünk a matematika legnagyobb, 165 éve megoldatlan problémájának megfejtéséhez

Bernhard Riemann német matematikus 1859-ben kiadott egy egészen rövid, mindössze 6 oldalas dolgozatot, pályafutása egyetlen számelméleti munkáját. Ebben szerepelt egy hipotézis, az úgynevezett Riemann-sejtés, aminek a bizonyítása máig nem sikerült senkinek, viszont a matematika egyik legjelentősebb megoldatlan problémájává nőtte ki magát. 1900-ban már szerepelt az úgynevezett Hilbert-problámák között (ekkor a kor legnagyobb matematikusa, David Hilbert egy konferencián hirdette ki a matematika tudományának legfontosabb, megoldásra váró feladatait), majd kereken száz évvel később bekerült a milleniumi problémák közé is (2000-ben egy amerikai intézet ajánlott fel egymillió dollárt a legkeményebb hét matematikai kihívás megoldásáért).

Két matematikus, az amerikai Larry Guth, az MIT professzora, és a brit James Maynard, az oxfordi egyetemről most szenzációs bejelentést tett: ha nem is sikerült nekik a bizonyítás, de áttörést értek el annak egyik részfeladatában, és így az egész matematika tudomány egy lépéssel közelebb került a Riemann-hipotézis megerősítéséhez. Maynard egyébként a mai matematika egyik sztárjának számít, ő nyerte 2022-ben a matematika Nobeljeként is emlegetett, négy évente kiosztott Fields-érmet, még nem volt 30 éves, amikor professzori címet kapott Oxfordban, a világ leghíresebb egyetemén, és még mindig csak 37 éves.

A Riemann-sejtés irtózatosan bonyolult, már annak a megértéséhez, hogy mi adja a bizonyítás nehézségét, jól jön egy témába vágó Phd fokozat, így most mi is csak nagyon-nagyon leegyszerűsítve mutatjuk be. Akiket egy fokkal mélyebben is érdekel, azoknak ajánljuk ezt az összefoglalót a BME-ről, akiket meg kettővel, megpróbálkozhatnak Guth és Maynard eredeti tanulmányával.

A Riemann-hipotézis a prímszámokkal foglalkozik, arra pedig még emlékezhetünk az iskolai matekórákról, hogy a prímszám olyan egész szám, ami csak saját magával és eggyel osztható maradék nélkül. A 13 például prímszám, a 14 nem (osztható 2-vel és 7-tel), a 15 sem (3 és 5 az osztói), a 16 megint nem (2, 4, 8), de a 17 megint igen. Minél nagyobb egy szám, annál nehezebb eldönteni róla, hogy prím vagy sem, hiszen az összes, nála kisebb számmal (pontosabban az összes számmal, ami kisebb mint a vizsgált szám négyzetgyöke) végig kell próbálgatni, hogy osztja-e vagy nem osztja. Márpedig az, hogy egy szám prím vagy sem, nagyon fontos dolog, és egy rakás gyakorlati alkalmazása van, például a prímekre épül nagyjából a teljes kriptográfia, arra meg az internet, meg minden digitális megoldás biztonsága.

Arra aránylag hamar felfigyeltek a matematikusok, hogy a prímszámok elhelyezkedése a számegyenesen nem mutat semmiféle ismétlődő mintázatot. Tehát egy számról nem lehet csak úgy megjósolni, hogy prím-e vagy sem, hanem szépen végig kell ellenőrizni az osztóit. Riemann annak idején bevezette az úgynevezett zéta-függvényt, ami statisztikailag meghatározza a prímek eloszlását a számegyenesen. Ezt azóta nagyon sok milliárd számra ellenőrizték, és helyes eredményeket adott, azonban ez még nem bizonyíték, hiszen egyetlen ellenpélda megcáfolja az egészet.

A dolog itt kezd el végzetesen bonyolulttá válni, ugyanis a bizonyítás egészen reménytelennek tűnt, mígnem az 1940-es években egy Albert Ingham nevű matematikus egy új, egészen trükkös, lehetséges megoldási utat talált ki. Ő úgy közelített, hogy a számegyenes adott szakaszán legfeljebb N darab helyen vehet fel „hibás” értéket a zéta-függvény (vagyis ennyi olyan prímszám van, amit nem jelez előre pontosan), és azóta különféle módszerekkel azt próbálják bizonyítani a matematikusok, hogy N = nulla, a teljes, végtelen számegyenesre vonatkoztatva. Ebben sikerült most, ha nem is a célba elérni, de az eddigi eredményekhez képest áttörést bemutatni a Guth-Maynard párosnak, és az úgynevezett Ingham-féle határértéket 0,6-ról 0,52-re csökkenteni, akármit is jelentsen ez.

Hogy ezt pontosan hogyan érték el, az már tényleg az a szint, amit nem egy Telex-cikkből fog megérteni az ember, szóval maradjunk a világ egyik legnagyobb matematikus szaktekintélye, Terence Tao (szintén Fields-érmes, és a másik legnagyobb matematikai elismerés, az Abel-díj odaítélő bizottságának tagja) rövid értékelésénél:

„Számos okos és váratlan manővert hajtottak végre.”