Félreérthető a hatodikos matematikai felvételi egyik feladata, nem javították ki a javítókulcsot

Szinte minden évben van valamilyen vitatható, félreérthető, rosszul megfogalmazott matematika feladat az általános iskolás gyerekek matematika felvételijén. 2023-ban is írtunk egy ilyen helyzetről, akkor lett is következménye a felháborodásnak, a félreérthetően megfogalmazott kérdés után sajátosan, háromféle értelmezését is elfogadtak végül a javítókulcsban.

Ezúttal az egyik olvasónk, egy érintett szülő a 2024 január 20-i, 6 osztályos gimnáziumi felvételi feladatsor 5. feladatának 2. kérdésével keresett meg minket, mert véleménye szerint a javítókulcs hibás.

Ez pedig óriási felelősség, hiszen bár jelen esetben lehet azt mondani, hogy csak egyetlen pontról volt szó (ez azért nem kevés a felvételi procedúrában, hiszen egyetlen pont különbséget jelent, ha valaki év végén 4-es, vagy 5-ös), de egyéb következmények is lehetnek. Ha ugyanis a diákok a felvételin félreérthető feladattal találkoznak, akkor megzavarhatja őket az, hogy értelmezési nehézségbe ütköznek. Igazságtalan, ha valaki időt veszít, hiszen az egy későbbi feladatnál hiányozhat, ott lehet kevesebb pontja. A matematika felvételi sor lehet könnyű, vagy lehet nehéz, attól még a diákok matematikai képességét veti össze a többi indulóval, de ha azon kell morfondírozni, hogy „mire gondolt a költő", az semmiképpen nem jó, és nem matematikai tudást mér.

Mint látni fogjuk, a feladat nem bonyolult, de egész érdekes logikai utazás az, hogy mi is lehetett a feladatok írók és a javítókulcsot összeállítók szándéka.

A feladat

Maga a feladat itt olvasható, az érintett 5/2. részt szó szerint idézzük.

„Papír síkidomok egy készletéből találomra kiválasztottunk egy téglalapot, majd a két átlójának egyenesével négy részre osztottuk. Az alábbi eseményekről döntsd el, hogy

• biztos
• lehetséges, de nem biztos
• lehetetlen!

A 2. állítás így szól:

A négy keletkezett rész páronként egybevágó.

A javítókulcs itt olvasható eszerint a jó válasz a következő: Lehetséges, de nem biztos. Vagyis van olyan átlóbehúzás, amellyel páronként egybevágó háromszögeket kapunk, de olyan is, ahol nem. A hozzánk forduló szülő szerint pedig az állítás valójában biztosan igaz.

Ha találomra kiválasztunk egy téglalapot, az vagy egy négyzet lehet, vagy egy olyan téglalap, amelynek van eltérő hosszúságú oldala, azaz nem négyzet. (Minden négyzet téglalap, de nem minden téglalap négyzet.) Ha akár a négyzetet, akár a nem-négyzet téglalapot a két átlóegyenessel négy háromszögre osztjuk, két eset lehetséges:

• Ha a tetszőlegesen kiválasztott téglalap egy négyzet volt, akkor az átlók behúzása után kialakuló háromszögekből mind a négy háromszög egybevágó lesz.
• Ha a téglalap nem négyzet volt, hanem egyéb téglalap, akkor az egymással szemben lévő háromszögek egybevágóak, de kétféle háromszöget kapunk, az egymás melletti háromszögek különbözőek.

Mi lehet a nyelvhasználat?

Az tehát biztos, hogy az egymással szemben levő két-két háromszög egybevágó, mindenkinek van egy egybevágó párja. De akkor mi lehet a probléma, a kérdésre miért nem a „biztos” a jó válasz?

Matematikusokkal beszélgetve, meglepő módon több értelmezést is kaptunk, igaz, ezek között nem volt olyan, amelyik szerint a feladat és a javítókulcs összességében rendben lett volna. Vagyis vagy a megfogalmazás volt rossz, érthetetlenül zavaró, nem hatodikos szintű, de a feladat készítője valóban arra a kérdésre gondolt, amire a javítókulcsban szereplő válasz helytálló, vagy konkrétan rossz a válasz. Lássuk az általunk hallott három értelmezést!

Az első (A) értelmezés szerint a javítókulcs rossz, hiszen minden keletkezett háromszögnek van egybevágó párja. Ez biztos. „Találunk olyan párokat, amelyek egybevágóak.” Az általunk elért három matektanárból kettő szerint ez a helyzet, a kulcs egyszerűen rossz.

B értelmezés szerint a feladatíró arra gondolt, hogy a „páronként” azt jelenti, hogy minden háromszög minden lehetséges másik háromszöggel egybevágó. Vagyis a négyzet megfelel az állításnak, de a nem négyzet téglalap nem, mert van olyan háromszögpár, ahol nem teljesül az egybevágóság.

Vagyis a feladatot védő válasz szerint a megoldókulcs helyes, mert a „páronként azonos” azt jelenti a matematikában, hogy bármely párra igaznak kell lennie, nem elég, hogy létezik egy pár, amire igaz. (Például 3 szám akkor relatív prím, ha bármely párra is igaz közülük, hogy relatív prímek.)

Egy pillanatra felejtsük el a magas szintű matematikát, és nézzük meg a vizsgált állítást. Emlékezhetünk így szólt: A négy keletkezett rész páronként egybevágó. Ha a B értelmezésre gondolt a feladatíró, minek tette bele a kérdésbe a „páronként” szót? Csak, hogy összezavarja a diákokat? Ennyit kellett volna írnia: A négy keletkezett rész egybevágó.

Eleve egyáltalán nem evidens, hogy egy 6. osztályos gyerek a „páronként” szó bedobásával nem érti-e félre a feladatot. A NAT2020 szerint 6. osztály végére az az elvárt, hogy a diákok ismerjék fel az egybevágó alakzatokat. A háromszögekre vonatkozó, most is említett hasonlóságra és egybevágóságra vonatkozó definíciók 7. osztályban kerülnek csak elő.

C értelmezés szerint (ez tűnik a legkevésbé valószínűnek, de ez is érdekes felvetés) a feladatíró azért nem fogadja el „biztos” eseménynek azt, hogy a keletkezett háromszögek páronként egybevágóak, mert külön esetnek veszi azt, ha mind a négy háromszög egybevágó. Vagyis ebben az értelmezésben csak a nem négyzet téglalapokra igaz a páronként egybevágó és a négyzetre nem igaz, mert az nem páronként egybevágó, hanem mind a négy egybevágó.

Ez az értelmezés azonban a szakma szerint matematikailag értelmetlen, vagyis ha négy háromszög egybevágó, akkor az egészen biztosan páronként is egybevágó. A hétköznapi életben lehet, hogy a négyes ikrekre nem mondjuk azt, hogy két kettes iker, de a matematika egzakt tudomány, ott nem számít, ha van még kettő, attól az páronként is igaz.

Nem a tudással lehetett baj

Az idei feladatsorok nem voltak tökéletesek, változott is a 8. osztályos matematika és magyar megoldókulcs is, tavaly is módosították a 8. osztályos matematika megoldókulcsot, de ennél a vitatott kérdésnél csak egy válasz maradt jó.

Pedig sok matematikával foglalkozó fórumon felvetődött ez a konkrét feladat, még a matematikát tanító, illetve a matematikát magas szinten tanult szakemberek között is. A nekünk író édesapa véleményére jutott például az alábbi videón a Pitagorasz Stúdió.

A probléma idén is a következő: Szatmári Alexandra felvételire felkészítő matematika tanár szerint a gyerekek jelentős része vélhetően rájött, hogy alapesetben, vagyis, amikor nem négyzetről, hanem téglalapról van szó, akkor kétféle háromszög keletkezik, mindkettőből két egybevágó (egyforma). A „páronként” szó jó eséllyel megzavart sok 12 évest, mert talált két párt, amire biztosan igaz volt az egybevágó állítás így azt gondolhatta joggal, hogy minden esetre igaz az állítás (nem csak a négyzet esetében). Aki pedig esetleg hallotta már a hasonlóság, vagy az egybevágóság definícióját, ő erre építve szinte biztos, hogy elrontotta a feladatot. A feladat megfogalmazása nagyon szerencsétlenre sikeredett, mert a gyerekek rájöttek a megoldásra és mégis sokan maradtak pont nélkül.

Mi lett volna az igazságos?

Vélhetően az lett volna az igazságos döntés, ha elfogadják a „biztos” és a „lehetséges, de nem biztos” verziókat is, ha a gyerek ezek közül csak egyet jelölt be. Hiszen lehetnek olyan „túlképzettek”, akik magasabb szintű ismeretek (a páronként matematikai értelmezéseit ismerve) alapján jelöltek, de olyanok is, akik átlátták a helyzetet, megértették a téglalap és a négyzet problémáját, és ebből kiindulva adtak értelmes (biztos) választ.

A baj az, hogy az Oktatási Hivatal a felvételik tisztasága miatt (természetesen jogosan) féltve őrzi a központi feladatsorokat, azonban az utóbbi években ez folyamatosan a szövegminőség rovására ment. Több lektorral a hibák érdemben csökkenthetők lennének!

A megfogalmazás módja ugyanis nagyon fontos, ugyanazt a kérdést tökéletesen fel lehet úgy is tenni, hogy az adott korosztály ne értse félre. Aki még nem unja az elemzésünket, annak álljon itt a háromféle értelmezésre olyan határozott kérdés, amely nem félreérthető egy hatodikosnak sem.

• A értelmezés: A négy keletkezett rész között mindegyiknek található egybevágó párja. Biztos – ez a jó válasz, ez a négyzetre is és a többi téglalapra is igaz.
• B értelmezés: A négy keletkezett rész mind egybevágó vagy A négy keletkezett rész tetszőleges páronként egybevágó. Lehetséges, de nem biztos – ez a jó válasz. Csak a a négyzetre lenne igaz, a többi téglalapra nem.
• C értelmezés: A négy keletkezett részből kettő-kettő egybevágó, de mind a négy nem. Lehetséges, de nem biztos, a téglalapra igaz, a négyzetre nem.