Közelebb kerültünk ahhoz, hogy megfejtsük a prímszámok legnagyobb rejtélyét

A prímszámok, vagyis azok a számok, amik csak önmagukkal és eggyel oszthatók, régóta lázban tartják a matematikusokat. Ezek a matematika legalapvetőbb építőkövei, és egyben a legtitokzatosabbak is. Eloszlásuk ugyan véletlenszerűnek tűnhet, mégis fel lehet benne fedezni mintázatokat, és ha sikerül az eloszlás szabályosságait feltárni, az a matematika több területére hatással lehet, és felfedhet kapcsolatokat a tudományágon belül, írja a BGR.

A prímszámok végtelen természetét, vagyis azt, hogy a prímszámoknak nincs határa, először Eukleidész bizonyította be Kr. e. 300 körül. A matematikusok azóta az ő tételére építenek, és ugyanezt az állítást igazolják a további kritériumoknak megfelelő prímekre, írja a Quanta Magazine.

Foglalkoztak például azzal tudósok, hogy a bizonyos számjegyeket elkerülő, vagy bizonyos formákban (például négyzetösszegekben) létező prímszámok is végtelenek-e. Például vizsgálhatják, hogy van végtelen számú prímszám, ami nem tartalmazza a 7-es számot. Idővel a matematikusok ezeket a kritériumokat egyre szigorúbbá tették. Azáltal, hogy megmutatták, hogy még mindig végtelenül sok prímszám felel meg az egyre merevebb korlátoknak, többet megtudhattak a prímszámok helyéről.

A matematikusoknak ugyanis vannak képleteik, amik hozzávetőlegesen érzékeltetik a prímszámok elhelyezkedését, de nem tudják pontosan meghatározni őket. Ehelyett közvetettebb megközelítést kellett alkalmazniuk.

Most két matematikus jutott közelebb ahhoz, hogy megfejtse ezt a kérdéskört. Az Oxford Egyetem kutatója, Ben Green, és a Columbia Egyetem tudósa, Mehtaab Sawhney egy különösen nagy kihívást jelentő prímszámtípusra bizonyították sikeresen, hogy végtelen számú létezik belőle: a p² + 4q² alakú prímszámot vizsgálták, ahol a p és a q maguk is prímek.

A matematikusok alapvetően hajlamosak olyan prímcsaládokat vizsgálni, amik éppen elég bonyolultak ahhoz, hogy érdekesek legyenek, de elég egyszerűek ahhoz, hogy haladást lehessen velük elérni. Megpróbálhatják például bebizonyítani, hogy végtelenül sok olyan prím van, amik 500 egységnyire vannak egymástól. Vagy azt, hogy más számok négyzeteinek összeadásával végtelen sok prímszámot építhetünk.

Utóbbi megközelítés kifejezetten hasznos volt, és évszázadokon át irányította a prímszámkutatás fejlődését. 1640-ben Pierre de Fermat volt az, aki leírta, hogy végtelenül sok prímszám írható le két egész szám négyzetre emelésével, majd ezek összeadásával. A 13-as prímszám például a 2² + 3²-ként is leírható. Ezt az elméletet később Leonhard Euler bizonyította. Sokkal nehezebbé teszi viszont a problémát az, ha kicsit módosítjuk a feltételeket: ha azt szabjuk meg például, hogy a négyzetre emelt számok egyike tökéletes négyzet legyen.

„Minél jobban korlátozunk egy halmazt, annál nehezebb prímszámokat találni benne” – mondta Ben Green a Quanta Magazine-nak.

2018-ban a Torontói Egyetem kutatója, John Friedlander és a Rutgers Egyetem tudósa, Henryk Iwaniec tette fel először a kérdést, amit most a két fent említett kutatónak sikerült megválaszolnia. A szigorú feltételek miatt a bizonyítás különösen nagy kihívást jelentett.

Nyilvánvaló volt, hogy Green és Sawhney nem tudja közvetlenül megszámolni a két másik prímszám négyzetre emelésével és összeadásával kapott prímszámokat. Ehelyett más módszert választottak: azt mondták, hogy elég, ha a négyzetes számok csak „nagyjából” prímszámok.

Az ilyen durva prímszámokat (angolul rough primes-nak hívják őket) könnyebb megtalálni, mint a valósakat. Ha például 1 és 200 között ilyeneket keresünk, elég, ha veszünk néhány kisebb prímszámot – például 2, 3, 5 és 7 –, majd felsoroljuk az összes olyan számot, ami nem osztható ezekkel a prímszámokkal. Ezek lesznek a durva prímek. Mivel ezek sokkal kevésbé véletlenszerű eloszlásúak, mint a valódi prímek, lényegesen könnyebb velük dolgozni, és sokkal jobban értjük őket.

Green és Sawhney először azt bizonyította be, hogy végtelenül sok prímszám jön létre úgy, hogy két durva prímszámot négyzetre emelünk és összeadunk. Most már csak azt kellett bizonyítaniuk, hogy ez az állítás igaz marad akkor is, ha tényleges prímszámokkal dolgoznak.

Ehhez két speciális függvénykészletet kellett alkalmazniuk (angolul Type I és Type II), és megvizsgálni, hogy az összegek ugyanazok, függetlenül attól, hogy melyik feltételeket használják. Erre az úgynevezett Gowers-norma segítségével volt lehetőségük, amit évtizedekkel korábban Timothy Gowers matematikus fejlesztett ki, hogy megmérje, mennyire véletlenszerű vagy strukturált egy függvény vagy számkészlet.

Green és Sawhney megtalálta a módját, hogy kapcsolatot teremtsen a Gowers-norma és a fent említett függvények között. Lényegében Gowers-normákat kellett használniuk annak bizonyítására, hogy két prímkészletük – a durva prímszámokkal és a valós prímszámokkal felépített halmaz – kellően hasonló. Ez azért volt újszerű megközelítés, mert a Gowers-norma látszólag a matematika egy teljesen más területéhez tartozik.

Ezzel sikerült is bizonyítaniuk, hogy a Friedlander-Iwaniec-elmélet helyes, és valóban végtelen számú prímszám írható fel a p² + 4q² alakban akkor, ha a p és a q maguk is prímek. Az eredmény jelentős áttörést jelent egy olyan típusú probléma esetében, ahol a tudományos haladás általában nagyon ritka. Még ennél is fontosabb, hogy a munkájuk bemutatja: a Gowers-norma hatékony eszközként működhet új matematikai területeken is.